Temos um número "n" de garrafas para "agrupar" 3 a 3

A(n,3) = n!/(n - 3)!

sabemos que A(n,3) = 120, então

120 = n!/(n - 3)!

120 = n.(n-1)(n-2)(n-3)!/(n-3)!

120 = n.(n-1)(n-2)

..veja que temos um produto de 3 números naturais consecutivos cujo resultado é 120, ou por outras palavras 120 é um múltiplo comum desses 3 números naturais consecutivos ...logo vamos calcular ...os divisores de 120, que são:

=> divisores de 120 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120)

vamos verificar qual o "grupo" consecutivo cujo produto resulta em 120

1.2.3 = 6

2.3.4 = 24

3.4.5 = 60

4.5.6 = 120

..note que os números consecutivos era definidos por "n", "n - 1" e "n - 2"

assim 

n = 6

(n-1) = 5

(n-2) = 4

Donde o número "n" de garrafas era de 6 

Espero ter ajudado