monarquia é regime, parlamentarismo é forma de governo; existindo monarquias parlamentares ( na verdade, a maioria das monarquias modernas é parlamentar - inglaterra, suécia, holanda, bélgica, espanha, japão e há democracias parlamentaristas, como a itália, israel, alemanha, portugal, rússia, etc.

no parlamentarismo, seja o regime democrático ou monárquico, o chefe de governo é o primeiro-ministro, escolhido pelos menbros do parlamento (os deputados federais).

( o presidente, no parlamentarismo democratico , é chefe de estado; as monarquias árabes - arábia saudita, jordânia, marrocos, dubai etc - são absolutistas - o rei ou o xeique são chefes de tudo )