Question

No sistema mecânico mostrado na figura abaixo: Dados: (m = 3kg; r = 2m; k = 700N/m; g = 9,8 m/s²) a)

No sistema mecânico mostrado na figura abaixo: Dados: (m = 3kg; r = 2m; k = 700N/m; g = 9,8 m/s²)

a) Qual é a compressão mínima da mola para que o bloco complete a volta do “loop”? Considere o sistema sem atrito.
b) Considere que houve uma compressão três vezes maior que esta mínima da mola calculada no item a. Calcule a distância h, percorrida pelo bloco na rampa de inclinação 45° cujo coeficiente de atrito cinético é

No sistema mecânico mostrado na figura abaixo: Dados: (m = 3kg; r = 2m; k = 700N/m; g = 9,8 m/s²)

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santosamanda45503 · Answer 1 · 2022-01-30 08:50:01

santosamanda45503

30/01/2022

a) x ≅ 0,767 m
b) h = 76,26 m
Explicação:
a)
Como o sistema é sem atrito, toda a energia potencial elástica inicial foi convertida em cinética no plano e depois parte foi convertida em potencial gravitacional ao longo do loop.
A compressão mínima da mola é aquele que faz com que o bloco chegue ao topo do loop na iminência de se descolar, ou seja, com Normal = 0. Nesse caso apenas o Peso (P) será a resultante centrípeta, logo:
$F_{centripeta} = P\frac{m.v^2}{R} = m.g\frac{v^2}{2} = 3.9,8\v^2 = 58,8$
Uma vez que sabemos a velocidade no topo, podemos calcular tanto a energia cinética quanto a energia potencial gravitacional nesse ponto, e ambas devem ser iguais à energia potencial elástica inicial, graças à lei de conservação da energia. Logo:
$E_{cinTopo} = frac{m.v^2}{2}= frac{3.58,8}{2}E_{cinTopo} = 88,2 J\E_{potGravTopo} = m.g.h = m.g.(2R) = 3.9,8.2.2E_{potGravTopo} = 117,6 J\E_{potElastica} = E_{cinTopo} + E_{potGravTopo}frac{K.x^2}{2} = 88,2 + 117,6frac{700.x^2}{2} = 88,2 + 117,6350.x^2 = 205,8x^2 = 0,588x approx 0,767 m$
b)
Compressão 3 vezes maior significa 0,767 . 4 ≅ 3,1 m
Vamos chamar de d a distância que o bloco anda sobre a rampa até parar. É correto dizer que:
$frac{h}{d} = sen45 = frac{sqrt{2}}{2}\d = frac{2h}{sqrt{2}} = frac{2h.sqrt{2}}{2}d = hsqrt{2}$
Além disso, precisamos decompor o peso do bloco sobre a rampa, a fim de acharmos a componente na mesma direção da normal, ou seja, Py, pois precisaremos calcular a força de atrito:
$P_y = P.cos45P_y = 3.9,8.frac{sqrt{2}}{2}P_y = 14,7sqrt{2}$
Feito isso, sabemos que o bloco se move até que toda a sua energia potencial elástica inicial seja convertida em potencial gravitacional e em trabalho da força de atrito sobre a rampa. Logo:
$E_{potElastica} = E_{potGravRampa} + au_{atrito}frac{K.x^2}{2} = m.g.h + Fat.dfrac{700.(3,1)^2}{2} = 3.9,8.h + (mu.N).hsqrt{2}3363,5 = 29,4h+ (mu.P_y).hsqrt{2}3363,5 = 29,4h+ (0,5.14,7.sqrt{2}).hsqrt{2}3363,5 = 29,4h+ 14,7h44,1h = 3363,5\h = 76,26 m$

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