Question

O cálculo diferencial e integral é um ramo importante da matermática, desenvolvido a partir da álgebra

e geometria, dedicando-se ao estudo de taxas de variação de grandezas e a acumulação de quantidades, tais como área abaixo de uma curva ou o volume de um sólido. Logo, de acordo com seus estudos, selecione a alternativa CORRETA para o volume do sólido de revolução pelas seguintes curvas e gráfico, sendo: y = ¼ x² + 1 = 0, em que y = 0, x = 1 e x = 4:

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alexandre704 · Answer 1 · 2022-05-26 20:11:52

alexandre704

26/05/2022

O volume do sólido de revolução em relação ao eixo x e y são
$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered}oxed{V_y = frac{375pi}{8}qquad V_x = frac{2103pi}{80}}end{gathered}$}$
Embora o enunciado diga quais curvas delimitam um região do plano xy, ele não deixa claro qual seria o eixo de revolução, obviamente geram sólidos volumes diferentes, neste caso como temos y = 0 e f(x) = 1/4 x^2 + 1, as fórmulas se reduzem a
$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered}egin{cases}V_y = pi int_{1}^{4}f(x)^2,dx & ext{ eixo x} V_x = 2pi int_{1}^{4}x f(x),dx & ext{ eixo y}end{cases}end{gathered}$}$
Vamos fazer com o sólido de revolução entorno do eixo y primeiro, portanto
$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered}V = 2pi int_{1}^{4}xf(x),dx V= 2pi int_{1}^{4}xleft(frac{x^2}{4}+1 ight),dx end{gathered}$}$
Podemos fazer a distributiva e resolver a integral de dois monômios ou podemos fazer uma substituição simples, que é o que vou fazer, portanto
$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered}u = frac{x^2}{4} + 1 Rightarrow du = frac{x}{2},dxend{gathered}$}$
Com isso nossa integra fica apenas
$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered}V= 4pi int_{frac{3}{2}}^{4}u,du end{gathered}$}$
Essa integral é imediata pois
$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered}int x^n,dx = frac{x^{n+1}}{n+1}, quad n e -1end{gathered}$}$
Logo
$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered}V = 4pi int_{frac{5}{4}}^{5}u,du = 4pileft.left[frac{u^2}{2} ight] ight|_{frac{5}{4}}^{5} end{gathered}$}$
Que fica
$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered}V = 4pileft.left[frac{u^2}{2} ight] ight|_{frac{5}{4}}^{5} = 4piunderbrace{left[frac{5^2}{2} - frac{left(frac{5}{4} ight)^2}{2} ight]}_{frac{375}{32}} end{gathered}$}$
Logo, isso para o eixo y.
$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered}oxed{V = frac{375pi}{8}}end{gathered}$}$
Para o eixo x temos
$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered}V = pi int_{1}^{4}f(x)^2,dx V= pi int_{1}^{4}left(frac{x^2}{4}+1 ight)^2dx end{gathered}$}$
Expandindo o quadrado
$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered}V= pi int_{1}^{4}left(frac{x^4}{16}+frac{x^2}{2}+1 ight)dx end{gathered}$}$
Como a soma das integrais é a integral da soma
$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered}V= pileft.left[frac{x^5}{80}+frac{x^3}{6}+x ight] ight|_{1}^{4} end{gathered}$}$
O que resulta em
$Largedisplaystyle ext{$egin{gathered}V= pileft[frac{4^5}{80}+frac{4^3}{6}+4 - frac{1^5}{80}-frac{1^3}{6}-1 ight] oxed{V = frac{2103pi}{80}}end{gathered}$}$
Espero ter ajudado
Qualquer dúvida respondo nos comentários
Sólidos em anexo nos comentários.

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