Question

Considerando as seguintes posições lógicas: Carlos estuda ou não está cansado. Se Carlos estuda, então

Considerando as seguintes posições lógicas: Carlos estuda ou não está cansado.

Se Carlos estuda, então dorme tarde.

Carlos não dorme tarde ou está cansado.

Logo: Carlos está cansado se e somente se estuda.

E nomeando as proposições como:

p: Carlos estuda.

q: Carlos está cansado.

r: Carlos dorme tarde.

Considerando, então, expressar o argumento anterior desta forma:

p v ~q, p r, ~r v q Ⱶ q ↔ p

Qual é a demonstração CORRETA para este argumento?

a.
C1: p v ~q
C2: p r
C3: ~r v q
Deduz-se:
C4: q p (C1: comutativa e equivalência)
C5: r ↔ q (C3: equivalência)
C6: p ↔ q (C2 + C5: silogismo hipotético)
C7: q p ^ p q (C4 + C6: conjunção)
C8: q p (C7: equivalência bicondicional – duas condicionais)

b.
C1: p v ~q
C2: p r
C3: ~r v q
Deduz-se:
C4: q p (C1: comutativa e equivalência)
C5: r q (C3: equivalência)
C6: p q (C2 + C5: silogismo hipotético)
C7: q p ^ p q (C4 + C6: conjunção)
C8: q ~p (C7: equivalência bicondicional – duas condicionais)

c.
C1: p v ~q
C2: p r
C3: ~r v q
Deduz-se:
C4: q p (C1: comutativa e associativa)
C5: r q (C3: Teorema de Morgan)
C6: p q (C2 + C5: hipóteses simples)
C7: q p ^ p q (C4 + C6: conjunção)
C8: q ↔ p (C7: equivalência bicondicional – duas condicionais)

d.
C1: p v q
C2: p r
C3: r v q
Deduz-se:
C4: q p (C1: comutativa e equivalência)
C5: r q (C3: equivalência)
C6: p q (C2 + C5: silogismo hipotético)
C7: q p ^ p q (C4 + C6: conjunção)
C8: q ↔ p (C7: equivalência bicondicional – duas condicionais)

e.
C1: p v ~q
C2: p r
C3: ~r v q
Deduz-se:
C4: q p (C1: comutativa e equivalência)
C5: r q (C3: equivalência)
C6: p q (C2 + C5: silogismo hipotético)
C7: q p ^ p q (C4 + C6: conjunção)
C8: q ↔ p (C7: equivalência bicondicional – duas condicionais)