Variável aleatória contínua é aquela  que pode assumir inúmeros  valores num intervalo de números  reais e é medida 

numa escala contínua. Por exemplo, uma variável aleatória contínua deve ser definida entre os números reais 0 e 1, ou 

números  reais  não  negativos  ou,  para  algumas  distribuições,  qualquer  número  real.  A  temperatura,  a  pressão,  a 

precipitação ou qualquer elemento medido numa escala contínua é uma variável aleatória contínua. 

Existem duas funções associadas a cada variável contínua X: a função densidade de probabilidade, simbolizada por fሺXሻ, 

e a função cumulativa de probabilidade, ou função de distribuição de probabilidade representada por FሺXሻ. A função fሺXሻ

é  aquela  cuja  integral  de  X  ൌ  a  até  X  ൌ  b  ሺb  ≥  aሻ  dá  a  probabilidade  de  que  X  assuma  valores  compreendidos  no

intervalo ሺa, bሻ, ou seja, 

( ) ( ) ∫ ≤ ≤ =

b

a

P a X b f X dX ሺ1ሻ

A função cumulativa de probabilidade Fሺbሻ é tal que: 

() ( ) ( ) ∫

−∞

= ≤ =

b

F b Prob X b f X dX ሺ2ሻ

Qualquer  função  definida  no  campo  real  só  pode  ser  considerada  como  uma  função  densidade  de  probabilidade  se 

forem satisfeitas as seguintes condições: 

f ( ) X ≥ 0 ሺ3ሻ

para todo X e 

( ) ∫

∞

−∞

F X = X dX = 1 ሺ4ሻ

  A probabilidade de que a variável X assuma valores no intervalo ሺa, bሻ é dada por: 

( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ≤ ≤ = = −

b

a

P a X b f X dX F b F a ሺ5ሻ

e a probabilidade de que a variável contínua X assuma um valor em particular, b, por exemplo, é: 

TMA  ሾDISTRIBUIÇÕES CONTÍNUASሿ

2 Bertolo

( ) ( ) () () ∫ ≤ ≤ = = − =

b

a

P a X b f X dX F b F b 0 ሺ6ሻ

Há muitas distribuições teóricas contínuas. Algumas das mais usadas aqui são: distribuição normal, distribuição 

gamma,  distribuição  de  valores  extremos  e  distribuição  exponencial.  Neste  material  vamos  tratar  dos  modelos 

probabilísticos  citados,  que  têm  importância  prática  na  investigação  científica,  abordando  as  formas  das  funções 

densidade de probabilidade, bem como a esperança e a variância.

Distribuição Uniforme

Uma  distribuição  de  variável  aleatória  contínua  é  a distribuição  uniforme  cuja  função  densidade  de  probabilidade  é 

constante dentro de um intervalo de valores da variável aleatória X.

A variável aleatória X tem distribuição uniforme de probabilidades no intervalo ሺa, bሻ se a função densidade fሺxሻ for:  

݂ሺݔሻ ൌ   ଵ

௕ି௔ , com as seguintes condições: b ≥ a e a ≤ x ≤ b. 

A representação gráfica da distribuição uniforme é um retângulo com base definida pelos valores a e b que estabelecem 

os limites de valores possíveis da variável aleatória X, Figura . 

Da definição da distribuição uniforme deduzimos: 

A área do retângulo é igual a 1, pois a base é ሺb – aሻ e a altura 1/ሺb – aሻ. 

A probabilidade da variável aleatória X ser igual ou maior que a e, ao mesmo tempo, menor ou igual a b é igual 

a 1 ou 100% 

A média e a variância da variável aleatória X com distribuição uniforme de probabilidades no intervalo ሺa,bሻ são: 

¾ Média: ߤ ௑ൌ   ௔ା ௕

ଶ

௑ߪ :Variância¾

ଶ ൌ   ሺ௕ି௔ሻమ

ଵଶ

EXEMPLO 1 

A variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo ሺ50, 200ሻ. Calcular a média e o desvio padrão. 

Solução

A média da variável aleatória contínua X é 150 obtida com a fórmula:

ܾ ൅ ܽ ൌ௑ ߤ

2 ൌ  50 ൅  200

2 ൌ 125

Da mesma forma, a variância é 1875,00, obtida com a fórmula:

௑ߪ

ଶ ൌ   ሺܾ െ ܽሻଶ

12 ൌ ሺ200 െ 50ሻଶ

12 ൌ 1875,00

O desvio padrão é obtido como:

ߪ ൌ √1875 ൌ 43,30

EXEMPLO 2 

Continuando o Exemplo 1, qual a probabilidade de um valor da variável X se encontrar entre 110 e 150?