1) Encontre o domínio das funções abaixo: - Pergunta...

1) Encontre o domínio das funções abaixo:

1) Encontre o domínio das funções abaixo:

1 Resposta

clara2018

23/04/2022

1) Encontrar o domínio da função:

$mathsf{R(x)=ell n!left(dfrac{sqrt{x+8}}{x-4} ight)}$

_________

Restrições para o domínio:

•   Denominadores não podem se anular:

$mathsf{x-4 e 0}\ mathsf{x e 4qquad(i)}$

• Radicandos em índice par não podem ser negativos:

$mathsf{x+80}\ mathsf{x-8qquad(ii)}$

não inclui o – 8 porque esse valor para x anularia o logaritmando (que está ligada a nossa próxima restrição)

• Logaritmandos sempre devem ser positivos:

$mathsf{dfrac{sqrt{x+8}}{x-4}0}\ mathsf{dfrac{N(x)}{D(x)}0qquad(iii)}$

sendo

$mathsf{N(x)=sqrt{x+8}}\ mathsf{D(x)=x-4}$

Vamos estudar o sinal do numerador e do denominador:

é uma função que retorna raiz quadrada de um número real.

A função raiz quadrada nunca resulta em número negativo , para valores dentro de seu domínio (nesse caso especial, não pode nem ser zero). Sendo assim, segue o sinal do numerador:

é uma função afim, crescente cuja raiz é x = 4. Mas esse valor anularia o denominador:

Segue o sinal do denominador:

Representando simultaneamente o sinal do numerador, do denominador, e da fração formada por ambos:

$egin{array}{cc} mathsf{N(x)=sqrt{x+8}}qquad&underset{-8}{circ}underline{+++++}underset{4}{circ}underline{+++++}\ mathsf{D(x)=x-4}qquad&underset{-8}{circ}underline{-----}underset{4}{circ}underline{+++++}\ mathsf{dfrac{N(x)}{D(x)}=dfrac{sqrt{x+8}}{x-4}qquad}&underset{-8}{circ}underline{-----}underset{4}{circ}underline{+++++} end{array}$

Voltando a queremos que o lado esquerdo da desigualdade sempre seja positivo. Logo, o intervalo de interesse é

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Domínio da função:

É determinado pela interseção das condições

ou usando a notação de intervalos,

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2) Interseções com os eixos coordenados:

•   Interseções com o eixo y:

Deveríamos ter no domínio da função. Como

não é possível computar o valor da função quando

Portanto, não há interseções com o eixo y.

______

•   Interseções com o eixo x (raízes da função):

Fazendo

$mathsf{ell n!left(dfrac{sqrt{x+8}}{x-4} ight)=0}\ mathsf{dfrac{sqrt{x+8}}{x-4}=e^0}\ mathsf{dfrac{sqrt{x+8}}{x-4}=1}\ mathsf{sqrt{x+8}=x-4}$

Devemos resolver a equação acima, levando em conta que x só poderá assumir valores no domínio (maiores que 4).

$mathsf{(sqrt{x+8})^2=(x-4)^2}\ mathsf{x+8=x^2-8x+16}\ mathsf{0=x^2-8x+16-x-8}\ mathsf{x^2-9x+8=0}$

Vou usar o método de fatoração por agrupamento para resolver a equação do 2º grau acima.

Reescreva convenientemente como e fatore por agrupamento o lado esquerdo:

$mathsf{x^2-8x-x+8=0}\ mathsf{x(x-8)-1(x-8)=0}\ mathsf{(x-8)(x-1)=0}\ egin{array}{rcl} mathsf{x-8=0}&~ extsf{ ou }~&mathsf{x-1=0}\ mathsf{x=8}&~ extsf{ ou }~&mathsf{x=-1}~~ extsf{(n~ao serve, pois }mathsf{-1$

Portanto, temos apenas uma interseção com o eixo x: Quando

$mathsf{y=R(8)}\ mathsf{y=ell n!left(dfrac{sqrt{8+8}}{8-4} ight)}\ mathsf{y=ell n!left(dfrac{sqrt{16}}{4} ight)}\ mathsf{y=ell n!left(dfrac{4}{4} ight)}\ mathsf{y=ell n,1}\ mathsf{y=0qquadcheckmark}$

A interseção com o eixo x ocorre no ponto

___________

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Bons estudos! :-)

Tags: domínio função real logaritmo ln raiz quadrada fração quociente inequação conjunto intervalo interseção eixo coordenado zero

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