Aldo e baldo iniciaram um jogo de adivinhação. nesse jogo, aldo usou uma calculadora para multiplicar os
números consecutivos 1 x 2 x 3 x x k, e entregou a calculadora a baldo, com o resultado da multiplicação no visor. baldo, por sua vez, deveria adivinhar o valor de k e, para isso, poderia usar apenas divisões sucessivas por 3. as primeiras 6 divisões por 3 que baldo fez retornaram números inteiros, e a sétima divisão retornou um número que não era inteiro. o maior valor possível para k é
1 Resposta
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isabillyp5yc91
Veja que 1*2*3*4*k = k!
Temos que, ao fatorar k!, retorna um número que tem apenas 6 fatores 3 em sua composição.
Observe:
1*2*3 já temos um 3
1*2*3*4*5*6 temos mais um 3 pois 6=2*3, temos então dois 3
1*2*3*4*5*6*7*8*9 temos mais dois 3, pois 9=3*3. Temos então 2+2=quatro 3
1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12 temos mais um três, pois 12=2*2*3 4+1=cinco 3
1*2*3*...*12*13*14*15 Temos mais um 3, pois 15=3*5. Logo temos 5+1=seis 3 na composição do número k!
Perceba que estou fazendo isso pois o número que Baldo lê na calculadora, k!, pode ser escrito como 1*2*3... na verdade, este foi exatamente o cálculo para encontrá-lo. Entao, podemos descobrir os possíveis valores de k, já que sabemos que em sua composição temos apenas seis 3, E para isso devemos ter seis 3 multiplicados no produto que o determina. A manhã é entender que multiplicar por 6 é multiplicar por 2 depois por 3. Este é um método comum para resolução de diversos exercícios que envolvem divisão de fatorial, quando pedem coisas como resto fatores primos etc. Continuando.
Veja que em 1*2*3*...*15*16*17*18 teremos mais dois 3, pois 18=2*3*3. Logo, Se k fosse 18, k! teria oito fatores 6. Portanto, o maior valor possível para k é 17. Bons estudos.