Calcular a área da região compreendida entre as curvas =...

Calcular a área da região compreendida entre as curvas =2+1 =2−2, =−1 =2

Calcular a área da região compreendida entre as curvas
=2+1
=2−2,
=−1
=2

1 Resposta

julliagatinhappan90k

22/04/2022

Olá, boa tarde.
Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo de áreas.
Devemos encontrar a área da região compreendida entre as curvas e e delimitada pelas retas e .
Primeiro, lembre-se que a área de uma região compreendida entre as curvas das funções e , contínuas e integráveis no intervalo fechado , onde é calculada pela integral: $displaystyle{iint_R ,dA=int_a^bint_{g(x)}^{f(x)},dy,dx=int_a^b f(x)-g(x),dx}$ .
Observe que as retas verticais e , as quais delimitam a região determinam o intervalo de integração . Ao analisarmos a figura em anexo, conclui-se que, neste intervalo, .
Então, a área da região compreendida entre estas curvas será calculada pela integral:
$displaystyle{int_{-1}^2x^2+1-(2x-2),dx}$
Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os termos
$displaystyle{int_{-1}^2x^2+1-2x+2,dx}\ displaystyle{int_{-1}^2 x^2-2x+3,dx}$
Para calcular esta integral, lembre-se que:
A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções: .A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $displaystyle{int x^n,dx=dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C}$ .A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: .A potência .A integral definida de uma função, contínua e integrável em um intervalo fechado é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $displaystyle{int_a^b h(x),dx=H(x)~iggr|_a^b=H(b)-H(a)}$ .
Aplique a regra da soma
$displaystyle{int_{-1}^2x^2,dx-int_{-1}^22x,dx+int_{-1}^23,dx}$
Aplique a regra da constante
$displaystyle{int_{-1}^2x^2,dx-2cdotint_{-1}^2x,dx+3cdotint_{-1}^21,dx}$
Aplique a regra da potência
$dfrac{x^{2+1}}{2+1}-2cdotdfrac{x^{1+1}}{1+1}+3cdotdfrac{x^{0+1}}{0+1}~iggr|_{-1}^2$
Some os valores nos expoentes e denominadores e multiplique os termos
$dfrac{x^3}{3}-2cdotdfrac{x^2}{2}+3cdotdfrac{x^1}{1}~iggr|_{-1}^2\ dfrac{x^3}{3}-x^2+3x~iggr|_{-1}^2$
Aplique os limites de integração
$dfrac{2^3}{3}-2^2+3cdot2-left(dfrac{(-1)^3}{3}-(-1)^2+3cdot(-1) ight)$
Calcule as potências e multiplique os termos
$dfrac{8}{3}-4+6-left(-dfrac{1}{3}-1-3 ight)\ dfrac{8}{3}+2-left(-dfrac{1}{3}-4 ight)$
Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os valores
$dfrac{8}{3}+2+dfrac{1}{3}+4\ dfrac{9}{3}+6\ 9~old{u.~a}$
Esta é a área da região compreendida entre estas curvas e retas.

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