Dados , com , mostre que se é o termo de ordem da sequên...

Dados , com , mostre que se é o termo de ordem da sequência de fibonacci, então.

Dados , com , mostre que se é o termo de ordem da sequência de fibonacci, então

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1 Resposta

tay5876

18/08/2013

Prova por indução em n, fixando o m:

I) n=2 => $u_{m+2} = u_{1}u_{m}+u_{2}u_{m+1}$
E isso é verdade para todo m, pela definição da sequência.

II) Supondo que seja verdade pra n=k: $u_{m+k} = u_{k-1}u_{m}+u_{k}u_{m+1}$
Verificando pra n=k+1:
$u_{m+k+1} = u_{k} u_{m} + u_{k+1}u_{m+1}$

E somando as duas igualdades membro a membro:
$u_{m+k} + u_{m+k+1}=u_{k-1}u_{m}+u_{k}u_{m+1}+u_{k}u_{m}+u_{k+1}u_{m+1}$
$u_{m+k+2}=u_{m}(u_{k-1}+u_{k})+u_{m+1}(u_{k}+u_{k+1})$
$u_{m+k+2}=u_{m}u_{k+1}+u_{m+1}u_{k+2}$

Que era o resultado esperado, logo aquela relação sempre vale para todo n>1. Pra provar pra m é a mesma coisa, só trocar as letras.

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