Qual o menor número natural que satisfaz a inequação x²+ 6x - 15 < 12 a) 5 b) 2 c) -1 d) -2 e) 0

Qual o menor número natural que satisfaz a inequação x²+ 6x - 15 < 12 a) 5
b) 2
c) -1
d) -2
e) 0

1 Resposta

  • MELIODASdaIRA

    resposta:  e) 0 (zero).

    Explicação passo a passo:

    Primeiramente, vamos encontrar o conjunto solução da inequação:

        egin{array}{l}x^2+6x-15 < 12\ Longleftrightarrowquad x^2+6x < 12+15\ Longleftrightarrowquad x^2+6x < 27 end{array}

    Vamos completar o quadrado do lado esquerdo. Some 9=3^2 a ambos os membros:

        egin{array}{l}Longleftrightarrowquad x^2+6x+9 < 27+9\ Longleftrightarrowquad x^2+6x+9 < 36end{array}

    Identificamos o lado esquerdo como o quadrado de uma soma (produtos notáveis):

        egin{array}{l}Longleftrightarrowquad x^2+2cdot 3cdot x+3^2 < 36\ Longleftrightarrowquad(x+3)^2 < 36end{array}

    A desigualdade acima envolve apenas termos não-negativos. Logo, a desigualdade se mantém para as raízes quadradas dos membros:

        egin{array}{l}Longleftrightarrowquadsqrt{(x+3)^2} < sqrt{36}\ Longleftrightarrowquad |x+3| < 6end{array}

    Atenção! sqrt{a^2}=|a| (módulo de a), para todo ainmathbb{R}.

    O módulo é menor que 6 para todos os números reais que estão entre -6 e 6, exclusive. Logo, devemos ter

        egin{array}{l}Longleftrightarrowquad -6 < x+3 < 6end{array}

    Subtraia 3 de todos os membros:

        egin{array}{l}Longleftrightarrowquad -6-3le x+diagup!!!! 3-diagup!!!! 3le 6-3\ Longleftrightarrowquad -9 < x < 3qquadcheckmarkend{array}

    O conjunto solução são todos os reais maiores que -9 e menores que 3.

    O menor número natural (isto é, inteiro não-negativo) que satisfaz essa condição é o 0 (zero).

    resposta: alternativa e) 0.

    Bons estudos!

Clique aqui para adicionar a sua resposta.