O valor de k² - 1 é igual a 30275.

Considere os escalares α e β. Sendo u = (2,1,3) e v = (5,-3,0), temos que o vetor w = (-6,8,k) é igual a:

w = α.u + β.v

(-6,8,k) = α(2,1,3) + β(5,3,0)

(-6,8,k) = (2α, α, 3α) + (5β, 3β, 0)

(-6,8,k) = (2α + 5β, α + 3β, 3α).

Assim, obtemos o seguinte sistema linear:

{-6 = 2α + 5β

{8 = α + 3β

{k = 3α.

Da equação 8 = α + 3β, podemos dizer que α = 8 - 3β. Substituindo o valor de α na primeira equação, obtemos:

-6 = 2(8 - 3β) + 5β

-6 = 16 - 6β + 5β

β = 22.

Consequentemente:

α = 8 - 3.22

α = 8 - 66

α = -58.

Portanto, o valor de k é igual a:

k = 3.(-58)

k = -174.

Assim, concluímos que k² - 1 é igual a (-174)² - 1 = 30275.