Vejamos:

Equação Geral da Circunferência:
x² + y² + 6x - 2y + 1 = 0

Para transforma-la em reduzida, teremos que reagrupar os termos e, posteriormente, lançar os números independentes, ou seja, aqueles que não contém incógnita, ao segundo membro.

x² + y² + 6x - 2y + 1 = 0
x² + 6x + y² - 2y + 1 = 0

*Pensemos...
Para que (x² + 6x) fosse um trinômio quadrado perfeito, teríamos que acrescentar +9.
x² + 6x +9 
*Porém, como trata-se de uma equação para manter a equivalência, o que se insere a mais em um membro também deve ser posto no outro. Logo colocaremos +9 também no segundo membro.

Para que (y² - 2y) fosse um trinômio quadrado perfeito, teríamos que acrescentar 1.
y² -2y + 1
*Porém, como trata-se de uma equação para manter a equivalência, o que se insere a mais em um membro também deve ser posto no outro. Logo colocaremos +1 também no segundo membro.

Concluindo o efetivo cálculo:

x² + y² + 6x - 2y + 1 = 0
x² + 6x + y² - 2y + 1 = 0
(x² + 6x + 9) +(y² -2y + 1) + 1 = +9 +1
(x + 3)² + (y - 1)² + 1 = 9 + 1
(x + 3)² + (y - 1)² = 9 + 1 - 1
(x + 3)² + (y - 1)² = 9 

Equação Reduzida da Circunferência: (x + 3)² + (y - 1)² = 9 

Dados:
9 = Raio ao quadrado (R)² raio da circunferência = 3
(-3, +1) são as coordenadas do centro da circunferência.