(5 - 3x)(7 - 2x)(1 - 4x) ≤ 0

Trate isso como uma função e veja onde ela é menor ou igual a 0.

f(x) = (5 - 3x)(7 - 2x)(1 - 4x)

Propriedade: "se a.b = 0, ou a = 0, ou b = 0", com base nisso podemos ampliar dizendo que se o produto de n termos é igual a 0, um deles deve ser 0.

Assim:
5 - 3x = 0
5 = 3x
x = 5/3         
ou

7 - 2x = 0
-2x = -7
x = -7/-2
x = 7/2
ou

1 - 4x = 0
-4x = -1
x = -1/-4
x = 1/4

Colocando em ordem crescente:
x1 = 1/4 = 0,25
x2 = 5/3 = 1,66...
x3 = 7/2 = 3,5

Agora tenha em mente que quando uma função "passa pela raiz" ela troca seu sinal, ou seja, se a função é positiva, quando passa pela raiz vira negativa e vice-versa (salvo em raiz dupla). Então, jogue um valor aleatório para x e analise seu sinal, vou usar x = 0.

f(x) = (5 - 3x)(7 - 2x)(1 - 4x)
f(0) = (5 - 3.0)(7 - 2.0)(1 - 4.0)
f(0) = 5.7.1 = 35 << é positivo 

Com base nisso:
Ela é positiva quando x é menor que 0,25, negativa quando x está entre 0,25 e 1,66..., positiva quando x está entre 1,66... e 3,5 e negativa quando x é maior que 3,5.

Os valores de x que satisfazem a inequação inicial são:
S = {x ≤ 1/4 ou 5/3 ≤ x ≤ 7/2}

Segue abaixo o gráfico para visualização da função.
Bons estudos